APMO 1995

Vraag 1

Bepaal alle rijen van reële getallen $a_1,a_2,...,a_{1995}$ die voldoen aan:
$$2\sqrt{a_n-(n-1)}\geq a_{n+1}-(n-1)$$
met $n$ een natuurlijk getal verschillend van 0, en
$$2\sqrt{a_{1995}-1994}\geq a_1+1.$$

Vraag 2

Zij $a_1,a_2,...,a_n$ een rij van van natuurlijke getallen met waarden tussen 2 en 1995 zodat:
(i) Elke twee van de $a_i$'s zijn relatief priem,
(ii) Iedere $a_i$ is priem of een product van priemgetallen.
Bepaal de kleinst mogelijke waarde voor $n$ om zeker te zijn dat de rij een priemgetal bevat.

Vraag 3

Zij $PQRS$ een vierhoek ingeschreven in een cirkel, zodat de lijnstukken $PQ$ en $RS$ niet parallel zijn. Beschouw de verzameling van cirkels door $P$ en $Q$ en de verzameling van cirkels door $R$ en $S$. Bepaal de verzameling $A$ van raakpunten van de cirkels uit deze twee verzamelingen.

Vraag 4

Zij $C$ een cirkel met straal $R$ en midden $O$, en $S$ een vast inwendig punt van $C$. Zij $AA'$ en $BB'$ loodrecht staande koorden door $S$. Beschouw de rechthoeken $SAMB, SBN'A', SA'M'B', SB'NA$. Vind de verzameling van alle punten $M,N',M',N$ wanneer $A$ rond de hele cirkel beweegt.

Vraag 5

Vind het kleinste natuurlijk getal $k$ zodat er een functie $f\mathbb Z\rightarrow \{1,2,...,k\}$ met de eigenschap dat $f(x)\neq f(y)$ als $|x-y|\in \{5,7,12\}$.