APMO 1994

Vraag 1

Vind alle functies $f\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ die voldoen aan:
(i) Voor alle $x,y\in\mathbb R$,
$$f(x)+f(y)+1\geq f(x+y)\geq f(x)+f(y),$$
(ii) Voor alle $x\in[0,1[,f(0)\geq f(x)$,
(iii) $-f(-1)=f(1)=1$.

Vraag 2 Opgelost!

Gegeven een driehoek $ABC$ met middelpunt van de omgeschreven cirkel $O$, hoogtepunt $H$ en omgeschreven straal $R$, bewijs dat $|OH|<3R$.

Vraag 3

Bepaal alle natuurlijke getallen $n$ vorm $a^2+b^2$, met $a$ en $b$ natuurlijk en relatief priem, en zodanig dat als $p$ een priem is en $p\leq\sqrt n$, dat dan $p|ab$.

Vraag 4

Bestaat er een oneindige verzameling punten in het vlak zodat er geen drie collineair zijn en de afstand tussen elke twee punten rationaal is?

Vraag 5

Er werden drie lijsten $A,B$ en $C$ aan jouw gegeven. Lijst $A$ bestaat uit alle getallen van de vorm $10^k$ in basis 10, met $k$ een natuurlijk getal groter dan 0. Lijst $B$ en $C$ bevatten dezelfde nummers maar vertaald in basis 2 en 5 respectievelijk:
$$\begin{array}{lll}
A & B & C \\
10 & 1010 & 20 \\
100 & 1100100 & 400 \\
1000 & 111110100 & 13000 \\
\vdots & \vdots & \vdots
\end{array}$$
Bewijs dat voor ieder natuurlijk getal $n>1$, er precies 1 getal is in de lijsten $B$ of $C$ zodat het $n$ cijfers telt.