Home › Archief › Internationale Olympiades › APMO › 1994 › omgeschreven cirkel

omgeschreven cirkel

Tags:

Opgave - APMO 1994 vraag 2

Gegeven een driehoek $ABC$ met middelpunt van de omgeschreven cirkel $O$, hoogtepunt $H$ en omgeschreven straal $R$, bewijs dat $|OH|<3R$.

Oplossing

Ingediend door Jan

De macht van $H$ tov de omgeschreven cirkel van $\Delta ABC$ is bekend, nl $-8R^2\cos{A}\cos{B}\cos{C}$.

Wanneer de driehoek scherphoekig is, is de ongelijkheid duidelijk.

Wanneer de driehoek stomphoekig is, noem dan $A$ de stompe hoek.

We weten dat

$$OH^2 - R^2 = -8R^2\cos{A}\cos{B}\cos{C} = 8R^2\cos{(180^{\circ}-A)}\cos{B}\cos{C} \leq 8R^2$$

met gelijkheid als en slechts als de punten $B,A,C$ collineair zijn in die volgorde.

Dus is

$$OH^2 - R^2 < 8R^2$$
$$\mathbb{QED}$$
Ingediend door arne

Of met vectoren: $\left|\vec{OH}\right| = \left|\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}\right| \leq \left|\vec{OA}\right| + \left|\vec{OB}\right| + \left|\vec{OC}\right| = R + R + R = 3R$.