JWO 2019

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

Kwinten, Anna, Floran en Norma spreken in totaal vier talen. Elke twee personen spreken precies $1$ gemeenschappelijke taal. Exact drie personen spreken Frans. Bovendien spreken Kwinten, Anna en Floran elk evenveel talen. Hoeveel talen spreekt Norma?

Vraag 2 Opgelost!

Zeven deelnemers aan de Internationale Wiskunde Olympiade behalen elk een verschillend priemgetal als score. De maximaal haalbare score is $42$. Meer dan de helft van deze zeven deelnemers behaalt meer dan de helft van de punten. De gemiddelde score van de zeven deelnemers is ook een priemgetal. Hoe groot is dit gemiddelde?

Vraag 3

In de vierhoek $ABCD$ is $E$ het midden van $[AB].$
We weten dat $|CD| = 3$, $|BC| = 4$, $|BD| = 5$ en $|CE| = 6.$ Toon aan dat $|AD| > 7.$

Vraag 4

De ridders van de ronde tafel komen samen. Rond de ronde tafel staan $18$ stoelen, genummerd van $1$ tot $18$. Als iedereen is gaan zitten blijkt dat er tussen elke twee ridders maximaal $r$ plaatsen zijn (die zowel leeg kunnen zijn als bezet door een andere ridder).

(a) Toon aan dat voor elke $r \le 7$ er maximaal $r+2$ ridders aanwezig zijn.

(b) Indien $r=5$, hoeveel verzamelingen bezette stoelen zijn er dan die aan het gegeven voldoen en waarbij $7$ ridders aanwezig zijn?

(c) Indien $r=7$, hoeveel verzamelingen bezette stoelen zijn er dan die aan het gegeven voldoen en waarbij $9$ ridders aanwezig zijn?