Het gaat over IMO ipv JWO
Opgave - JWO 2019 dag 1 vraag 2
Zeven deelnemers aan de Internationale Wiskunde Olympiade behalen elk een verschillend priemgetal als score. De maximaal haalbare score is $42$. Meer dan de helft van deze zeven deelnemers behaalt meer dan de helft van de punten. De gemiddelde score van de zeven deelnemers is ook een priemgetal. Hoe groot is dit gemiddelde?
- login om te reageren
Oplossing
De priemgetallen $p \le 42$ zijn:
2/3/5/7
11/13/17/19
23/29
31/37
41
Noem de $7$ scores $2 \le p_1< p_2< p_3< p_4< p_5< p_6< p_7\le 41.$
We weten dat $p_4 > 21$.
Omdat het gemiddelde ook een priemgetal is moet er gelden:
$(p_1+p_2+p_3+p_4+p_5+p_6+p_7)/7 = p_8$, waarbij ook $p_8$ priem is.
Lemma: $p_1>2$
Bewijs
Indien $p_1=2$, is $p_1+p_2+p_3+p_4+p_5+p_6+p_7$ even als som van even getal en 6 oneven getallen, wat betekent dat $p_8$ even is.
Dit kan niet, want $p_8$ is ook priem en niet gelijk aan 2 (want groter).
Er geldt sowieso dat $$p_8=(p_1+p_2+p_3+p_4+p_5+p_6+p_7)/7 \le (17+19+23+29+31+37+41)/7=197/7.$$
Bijgevolg is $p_8$ als priemgetal maximaal $23$.
Verder is $p_1+p_2+p_3 \ge 3+5+7=15$ wegens het lemma en $p_4+p_5+p_6+p_7 \ge 23+29+31+37=120$ omdat er minstens $4$ deelnemers niet gebuisd waren.
Samen betekent dit dat $p_8\ge (3+5+7+23+29+31+37)/7 =135/7>19$.
De boven- en ondergrens betekenen dat $p_8=23$ de enige mogelijkheid kan zijn.
Nu volstaat het om aan te tonen dat dit mogelijk is:
$(23+29+31+37+5+17+19)/7 = 23 $.