JWO 2014

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

Op de zijde $[AC]$ van een driehoek $ABC$ ligt een punt $D$ met de volgende eigenschappen:
$ |BC|=|DB|$
$\angle ABD= 2\cdot \angle BAD$
$BC \perp$ op de bissectrice van $\angle ABD$.

Vind de hoeken van driehoek $ABC$

Vraag 2 Opgelost!

Van een blad papier met lengte $l$ en breedte $b$ zo dat $b$<$l$<$2b$ knipt men langs een rechte lijn een zo groot mogelijk vierkant $V_1$ weg.
Van de overgebleven rechthoek knipt men opnieuw langs een rechte lijn een zo groot mogelijk vierkant af.

$a$
Bewijs dat de omtrek van de overblijvende rechthoek groter is dan een derde van de omtrek van de oorspronkelijke rechthoek.

$b$
Bewijs dat de oppervlakte van de overblijvende rechthoek niet groter is dan deze van de oorspronkelijke rechthoek maal $3-2 \sqrt{2}$.

Vraag 3 Opgelost!

Je beschikt over voldoende muntstukken van $1, 2, 5, 10, 20, 50$ cent en $1$ euro. Stel dat A en B natuurlijke getallen zijn zodanig dat het mogelijk is om met A van deze muntstukken een bedrag van B cent te betalen. Bewijs dat het ook mogelijk is om met precies B van deze muntstukken een bedrag van A euro te betalen.

Vraag 4 Opgelost!

Een fotomodel wil een halssnoer laten ontwerpen dat bestaat uit een sluiting en $k$ gekleurde kralen.
Er zijn $5$ kleuren ter beschikking.
$2$ Opeenvolgende kralen moeten een verschillend kleur hebben, zelfs wanneer de sluiting ertussen zit.
Hoeveel dergelijke snoeren kunnen er maakt worden als $k=3,4,5,6$ of $7$?