geld leggen
Opgave - JWO 2014 dag 1 vraag 3
Je beschikt over voldoende muntstukken van $1, 2, 5, 10, 20, 50$ cent en $1$ euro. Stel dat A en B natuurlijke getallen zijn zodanig dat het mogelijk is om met A van deze muntstukken een bedrag van B cent te betalen. Bewijs dat het ook mogelijk is om met precies B van deze muntstukken een bedrag van A euro te betalen.
- login om te reageren
Oplossing
Als er in het volgend bewijs getallen staan die geld aanduiden gaat het altijd over centen.
Benoem $m,n,o,p,q,r,s$ resp. het aantal 1,2,5,10,20,50,100 cent muntstukken en benoem $M,N,O,P,Q,R,S$ resp. de hoeveelheid geld die dat aantal van elke soort muntstuk opbrengt.
Dan weten we dat $m+n+o+p+q+r+s = A$ en $M+N+O+P+Q+R+S = B$
We weten ook dat
$m*1=M$
$n*2=N$
$o*5=O$
$p*10=P$
$q*20=Q$
$r*50=R$
$s*100=S$
waaruit volgt dat
$100m=M*100$
$100n=N*50$
$100o=O*20$
$100p=P*10$
$100q=Q*5$
$100r=R*2$
$100s=S*1$
Merk op dat alle coëfficienten van de hoodletters overeenkomen met waarden van de muntstukken.
Door in het laatste reekse alle overeenkomende leden met elkaar op te tellen weten we dat
$100*(m+n+o+p+q+r+s) = M*100 + N*50 + O*20 + P*10 + Q*5 + R*2 + S*1$
=> $100*A = M*100 + N*50 + O*20 + P*10 + Q*5 + R*2 + S*1$
Hieruit blijkt dat het mogelijk is om met B muntstukken A euro to maken.
QED