grote omtrek, klein opp blad
Opgave - JWO 2014 dag 1 vraag 2
Van een blad papier met lengte $l$ en breedte $b$ zo dat $b$<$l$<$2b$ knipt men langs een rechte lijn een zo groot mogelijk vierkant $V_1$ weg.
Van de overgebleven rechthoek knipt men opnieuw langs een rechte lijn een zo groot mogelijk vierkant af.
$a$
Bewijs dat de omtrek van de overblijvende rechthoek groter is dan een derde van de omtrek van de oorspronkelijke rechthoek.
$b$
Bewijs dat de oppervlakte van de overblijvende rechthoek niet groter is dan deze van de oorspronkelijke rechthoek maal $3-2 \sqrt{2}$.
- login om te reageren
Oplossing
Eerst even alle afmetingen:
-De grote rechthoek heeft lengte $l$ en breedte $b$.
-$V_1$ heeft zijde $b$
-$V_2$ heeft zijde $l-b$
-De kleine rechthoek heeft lengte $l-b$ en breedte $2b-l$
(a)
Te bewijzen: Omtrek kleine rechthoek > één derde omtrek grote rechthoek.
$\Leftrightarrow 2(l-b+2b-l) > \frac13 2(l+b)$
$\Leftrightarrow 2b > \frac{2l}3 + \frac{2b}3$
$\Leftrightarrow \frac{6b}3 - \frac{2b}3 > \frac{2l}3$
$\Leftrightarrow 2b > l$
wat gegeven is => qed
(b)
Te bewijzen: Oppervlakte kleine rechthoek niet> oppervlakte grote rechthoek * $(3-2\sqrt2)$
$\Leftrightarrow (l-b)(2b-l) \le bl (3-2\sqrt2)$
$\Leftrightarrow 3bl-l^2-2b^2 \le 3bl -2\sqrt2bl$
$\Leftrightarrow -(l^2-2\sqrt2bl+2b^2) \le 0$
$\Leftrightarrow -(l-\sqrt2b)^2 \le 0$
wat een algemene waarheid is (kwadraat met - ervoor) => qed