jagen naar de hoek
Opgave - JWO 2014 dag 1 vraag 1
Op de zijde $[AC]$ van een driehoek $ABC$ ligt een punt $D$ met de volgende eigenschappen:
$ |BC|=|DB|$
$\angle ABD= 2\cdot \angle BAD$
$BC \perp$ op de bissectrice van $\angle ABD$.
Vind de hoeken van driehoek $ABC$
- login om te reageren
Oplossing
We noemen het snijpunt van de bissectrice van ∠ABD met de zijde [AC] van ΔABC het punt E. Dan geldt, aangezien BE de bissectrice is van ∠ABD en ∠ABD=2∠BAD, dat ΔABE gelijkbenig is met tophoek ∠BEA. Hieruit volgt dan: ∠CEB=2∠BAD (1)
Omdat |BC|=|BD| is ook ΔBCD gelijkbenig met tophoek ∠CBD, waardoor ∠CBD=180°-2∠BCA
Dan geldt er in ΔABC: ∠BAD+2∠BAD+180°-2∠BCA+∠BCA=180° ⇔ 3∠BAD=∠BCA (2)
Verder geldt er in ΔBCE: ∠CEB=90°-∠BCA (3)
Uit (1), (2) en (3) volgt: 2∠BAD=90°-3∠BAD ⇔ ∠BAD=18°
⇒∠BCA=3∠BAD=54°
$\Rightarrow \angle ABC=180^{\circ}-\angle BAD-\angle BCA=108^{\circ}$