USAMO 2001

Vraag 1

Elk van acht dozen bevat precies zes ballen. Iedere bal is precies gekleurd in één van de $n$ kleuren, zodat er geen twee ballen in dezelfde doos een gelijke kleur hebben, en er geen twee kleuren samen voorkomen in meer dan één doos. Bepaal het kleinste natuurlijk getal $n$ waarvoor dit mogelijk is.

Vraag 2

Zij $ABC$ een driehoek en $\omega$ zijn ingeschreven cirkel. Noteer met $D_1$ en $E_1$ de punten waar $\omega$ raakt aan de zijden $BC$ en $AC$ respectievelijk. Noteer met $D_2$ en $E_2$ de punten op de zijden $BC$ en $AC$ respectievelijk waarvoor $CD_2=BD_1$ en $CE_2=AE_1$ en stel $P$ het snijpunt van $AD_2$ en $BE_2$. De cirkel $\omega$ snijdt het lijnstuk $AD_2$ in twee punten, het punt dichtst bij $A$ noemen we $Q$. Bewijs dat $|AQ|=|D_2P|$.

Vraag 3

Zij $a,b,c>0$ met $a^2+b^2+c^2+abc=4$. Bewijs dat
$$0\leq ab+bc+ca-abc\le2.$$

Vraag 4

Zij $P$ een punt in het vlak van de driehoek $\triangle ABC$ zodat de lijnstukken $PA,PB,PC$ de zijden van een stomphoekige driehoek vormen, met $|PA|$ de langste zijdelengte. Bewijs dat $\angle BAC$ scherp is.

Vraag 5

Zij $S$ een verzameling van gehele getallen waarvoor

• $\exists\,a,b\in S \text{ggd}(a,b)=\text{ggd}(a-2,b-2)=1$,
• $\forall\,x\in S, \forall\,y\in S x^2-y\in S$.

Bewijs dat $S=\mathbb Z$.

[/]

Vraag 6

Ieder punt in het vlak krijgt een reëel getal als label, zodat voor iedere driehoek, het getal van het midden van zijn ingeschreven cirkel gelijk is aan het rekenkundig gemiddelde van zijn drie hoekpunten. Bewijs dat alle punten hetzelfde getal als label hebben gekregen.