USAMO 2000

Vraag 1

Bewijs dat er geen functie $f\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ bestaan waarvoor $$\frac{f(x)+f(y)}2\geq f\left(\frac{x+y}2\right)+|x-y|$$ voor alle $x,y\in\mathbb{R}$.

Vraag 2

Zij $S$ de verzameling van alle driehoeken $\triangle ABC$ waarvoor
$$5\left(\frac1{AP}+\frac1{BQ}+\frac1{CR}\right)-\frac3{\min(AP, BQ,CR)}=\frac6r$$
met $r$ de straal van de ingeschreven cirkel van $\triangle ABC$ en $P,Q,R$ de raakpunten van de ingeschreven cirkel met de zijden $AB,BC,CA$ respectievelijk. Bewijs dat al de driehoeken in $S$ gelijkbenig zijn en gelijkvormig.

Vraag 3

Een spelletje solitaire wordt gespeeld met $R$ rode kaarten, $W$ witte kaarten en $B$ blauwe kaarten (die allemaal ieder spel gebruikt worden). Bij ieder spel stapelt hij strafpunten op. Als hij een blauwe kaart speelt, is deze straf gelijk aan het aantal witte kaarten nog in zijn hand. Als hij een witte kaart speelt, dan is deze straf gelijk aan het dubbel van het aantal rode kaarten nog in zijn hand. Als hij een rode kaart speelt, dan is deze straf gelijk aan het drievoud van het aantal blauwe kaarten nog in zijn hand. Vind, in functie van $R,W,B$, het minimum aantal strafpunten dat een speler kan verzamelen in één spel, evenals alle mogelijke manieren om dit minimum te bekomen.

Vraag 4 Opgelost!

Vind het kleinste natuurlijk getal $n$ zodat gelijk welke $n$ vakjes van een $1000\times1000$ schaakbord we kleuren, er altijd drie gekleurde vakjes bestaan waarvan de middens een rechthoekige driehoek vormen met twee zijden parallel aan de randen van het bord.

Vraag 5

Zij $\triangle A_1A_2A_3$ een driehoek en $\omega_1$ een cirkel door $A_1$ en $A_2$. Veronderstel dat er cirkels $\omega_2,\omega_3,\ldots,\omega_7$ bestaan zodat voor $k=2,3,\ldots,7$, $\omega_k$ uitwendig raakt aan $\omega_{k-1}$ en door $A_k$ en $A_{k+1}$ gaat, met $A_{n+3}=A_n$ voor alle $n\geq1$. Bewijs dat $\omega_7=\omega_1$.

Vraag 6

Zij $a_1,b_1,a_2,b_2,\ldots,a_n,b_n>0$. Bewijs dat
$$\sum_{i,j=1}^n\min(a_ia_j,b_ib_j)\leq \sum_{i,j=1}^n\min(a_ib_j,a_jb_i).$$