USAMO 1996

Vraag 1

Bewijs dat het gemiddelde van de getallen $n\sin n^\circ$ ($n=2,4,6,\ldots,180$) gelijk is aan $\cot1^\circ$.

Vraag 2

Voor elke niet-lege verzameling $S$ van reële getallen noteren we met $\sigma(S)$ de som van de elementen van $S$. Gegeven een verzameling $A$ van $n$ natuurlijke getallen, beschouw de verzameling van alle verschillende sommen $\sigma(S)$ waar $S$ gaat over de niet-lege deelverzamelingen van $A$. Bewijs dat deze verzameling van sommen onderverdeeld kan worden in $n$ klassen, zodat in iedere klasse de verhouding van de grootste som tot de kleinste som niet groter is dan 2.

Vraag 3

Zij $\triangle ABC$ een driehoek. Bewijs dat er een rechte $\ell$ bestaat in het vlak $ABC$ zodat het spiegelbeeld van $\triangle ABC$ rond $\ell$ meer dan $2/3$ van de oppervlakte van $\triangle ABC$ overdekt.

Vraag 4 Opgelost!

Een rij van $n$ termen $(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ met alle $x_i\in\{0,1\}$ wordt een binaire rij van lengte $n$ genoemd. Zij $a_n$ het aantal binaire rijen van lengte $n$ die geen drie opeenvolgende termen bevat gelijk aan 0,1,0 (in die volgorde). Zij $b_n$ het aantal binaire rijen van lengte $n$ die geen vier opeenvolgende termen bevat gelijk aan 0,0,1,1 of 1,1,0,0 (in die volgorde). Bewijs dat $b_{n+1}=2a_n$ voor alle natuurlijke getallen $n$.

Vraag 5

Driehoek $ABC$ heeft de volgende eigenschap: er bestaat een inwendig punt $P$ zodat $\angle PAB=10^\circ$, $\angle PBA=20^\circ$, $\angle PCA=30^\circ$, $\angle PAC=40^\circ$. Bewijs dat $\triangle ABC$ gelijkbenig is.

Vraag 6

Bepaal, met bewijs, of er een deelverzameling $X$ bestaat van de gehele getallen met de volgende eigenschap: voor ieder geheel getal $n$ bestaat er precies één oplossing voor de vergelijking $a+2b=n$ met $a,b\in X$.