USAMO 1994

Vraag 1

Zij $k_1

Vraag 2

De zijden van een 99-hoek worden initieel gekleurd zodat de opeenvolgende zijden rood, blauw, rood, blauw,..., rood, blauw, geel zijn. Een zet bestaat erin één zijde van kleur te veranderen, met dien verstande dat twee aanliggende zijdes nooit dezelfde kleur mogen hebben. Kunnen we na een eindig aantal zetten krijgen dat de opeenvolgende zijden rood, blauw, rood, blauw,..., rood, geel, blauw zijn?

Vraag 3

Een convexe zeshoek $ABCDEF$ is ingeschreven in een cirkel zodat $|AB|=|CD|=|EF|$ en de diagonalen $AD,BE,CF$ concurrent zijn. Zij $P$ het snijpunt van $AD$ en $CE$. Bewijs dat
$$\frac{CP}{PE}=\left(\frac{AC}{CE}\right)^2.$$

Vraag 4

Zij $a_1,a_2,a_3,\ldots$ een rij van positieve reële getallen die voldoet aan
$$\sum_{j=1}^na_j\geq\sqrt n$$
voor alle $n\geq1$. Bewijs dat voor alle $n\geq1$ geldt dat
$$\sum_{j=1}^na_j^2>\frac14\left(1+\frac12+\cdots+ \frac1n\right).$$

Vraag 5

Zij $|U|$, $\sigma(U)$ en $\pi(U)$ respectievelijk het aantal elementen, de som van de elementen en het product van de elementen van een eindige verzameling $U$ van natuurlijke getallen voorstellen. Als $U$ de lege verzameling is, stellen we $|U|=0,\sigma(U)=0$ en $\pi(U)=1$. Als $S$ een eindige verzameling is van natuurlijke getallen, bewijs dat
$$\sum_{U\subseteq S}(-1)^{|U|}\binom{m-\sigma(U)}{|S|}=\pi(S)$$
voor alle natuurlijke getallen $m\geq\sigma(S)$.