USAMO 1992

Vraag 1

Vind, in functie van $n$, de som van de cijfers van
$$9\times99\times9999\times\cdots\times\left(10^{2^n}-1\right),$$
waar iedere factor dubbel zoveel cijfers heeft als de vorige.

Vraag 2

Bewijs dat
$$\frac1{\cos0^\circ\cos1^\circ}+\frac1{\cos1^\circ\cos2^\circ} +\cdots+\frac1{\cos88^\circ\cos89^\circ}=\frac{\cos1^\circ} {\sin^21^\circ}.$$

Vraag 3

Voor een niet-lege verzameling $S$ van gehele getallen noemen we $\sigma(S)$ de som van de elementen van $S$. Veronderstel dat $A=\{a_1,a_2,\ldots,a_{11}\}$ een verzameling natuurlijke getallen is met $a_1

Vraag 4

De koorden $[AA'],[BB'],[CC']$ van een sfeer snijden in een inwendig punt $P$ maar zijn niet coplanair. De sfeer door $A,B,C,P$ raakt aan de sfeer door $A',B',C',P$. Bewijs dat $|AA'|=|BB'|=|CC'|$.

Vraag 5

Zij $P(z)$ een veelterm van graad $1992$ met complexe coëfficiënten en allemaal verschillende wortels. Bewijs dat er complexe getallen $a_1,a_2,\ldots,a_{1992}$ bestaan zodat $P(z)$ de veelterm
$$\left(\cdots\left(\left(z-a_1\right)^2-a_2\right)^2\cdots-a_{1991} \right)^2-a_{1992}$$
deelt.