USAMO 1991

Vraag 1

In $\triangle ABC$ is $\angle A=2\angle B$ en $\angle C>90^\circ$ en de drie zijden $a,b,c$ zijn natuurlijke getallen. Bepaal, met bewijs, de minimumomtrek van de driehoek.

Vraag 2

Voor elke niet-lege verzameling $S$ van getallen, zij $\sigma(S)$ en $\pi(S)$ de voorstelling van de som en het product, respectievelijk, van alle elementen van $S$. Bewijs dat $$\sum\frac{\sigma(S)}{\pi(S)} = (n^2+2n)-\left(1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n\right)(n+1),$$
waar de som gaat over alle niet-lege deelverzamelingen $S$ van $\{1,2,\ldots,n\}$.

Vraag 3

Toon aan dat voor elke gehele $n>0$, de rij
$$2,2^2,2^{2^2},2^{2^{2^2}},\ldots \pmod n$$
uiteindelijk constant wordt.

Vraag 4

Zij $a=\frac{m^{m+1}+n^{n+1}}{m^m+n^n}$, met $m,n>0$ gehele getallen. Bewijs dat $$a^m+a^n\geq m^m+n^n.$$

Vraag 5

Zij $D$ een willekeurig punt op de zijde $AB$ van $\triangle ABC$, en $E$ het inwendig punt waar $CD$ de uitwendige gemeenschappelijke raaklijn aan de ingeschreven cirkels van driehoeken $ACD$ en $BCD$ snijdt. Als $D$ alle posities tussen $A$ en $B$ aanneemt, bewijs dat het punt $E$ op de boog van een cirkel beweegt.