USAMO 1990

Vraag 1

Een bepaald land heeft nummerplaten die bestaan uit zes cijfers (van 0 tot en met 9). Het land stelt dat voor veiligheidsredenen, iedere twee nummerplaten op minstens twee cijfers moeten verschillen van elkaar. Bepaal, met bewijs, het maximum aantal nummerplaten dat dit land kan gebruiken.

Vraag 2

Een rij functies $\{f_n(x)\}$ wordt als volgt gedefinieerd:
$$f_1(x)=\sqrt{x^2+48},$$
$$f_{n+1}(x)=\sqrt{x^2+6f_n(x)},\ \forall n\geq1.$$
Voor ieder natuurlijk getal $n$, vind alle reële oplossingen van de vergelijking $f_n(x)=2x$.

Vraag 3

Veronderstel dat halsband $A$ $14$ kralen heeft en halsband $B$ $19$. Bewijs dat voor elk oneven natuurlijk getal $n\geq1$, er een manier is om de $33$ kralen te nummeren van $n$ tot en met $n+32$ zodanig dat op elke halsband, elke twee naburige kralen onderling ondeelbare getallen hebben.

Vraag 4

Zij $f(n)$ het aantal natuurlijke getallen waarvan de voorstelling in basis $n$ bestaat uit verschillende cijfers met de eigenschap dat, behalve voor het meest linkse cijfer, elk cijfer verschilt met $\pm1$ met een bepaald cijfer dat meer naar links staat. Bereken $f(n)$ expliciet.

Vraag 5

Zij $\triangle ABC$ scherphoekig. De cirkel met diameter $AB$ snijdt de hoogte $CC'$ en zijn verlengde in de punten $M$ en $N$. De cirkel met diameter $AC$ snijdt de hoogte $BB'$ en zijn verlengde in $P$ en $Q$. Bewijs dat de punten $M,N,P,Q$ op eenzelfde cirkel liggen.