USAMO 1986

Vraag 1

Bestaan er $14$ opeenvolgende natuurlijke getallen die alle deelbaar zijn door een priemgetal kleiner dan $13$? Bestaan er $21$ opeenvolgende natuurlijke getallen die allen deelbaar zijn door een priemgetal kleiner dan $17$?

Vraag 2

Vijf professoren wonen een lezing bij. Iedere professor valt precies twee keer in slaap. Voor iedere twee professoren was er een moment waar ze beiden lagen te slapen. Toon aan dat er een moment was waar er drie lagen te slapen.

Vraag 3 Opgelost!

Wat is de kleinste gehele $n>1$ waarvoor het rekenkundig gemiddelde van de eerste $n$ volkomen kwadraten zelf een volkomen kwadraat is?

Vraag 4

Een T-vierkant is een tekeninstrument dat je toelaat om een rechte te tekenen door twee punten, of een rechte loodrecht op een gegeven rechte en door een gegeven punt.

De cirkels $C$ en $C'$ snijden in $X$ en $Y$. $XY$ is een diameter van $C$. $P$ is een punt op $C'$ binnen $C$. Als je enkel beschikt over een $T$-vierkant, construeer dan punten $Q,R$ op $C$ zodat $QR\perp XY$ en $PQ\perp PR$.

Vraag 5

Een partitie van een geheel getal $n>0$ is een manier om $n$ te schrijven als som van kleinere gehele getallen (groter dan nul). Bijvoorbeeld $4$ kan geschreven worden als $1+1+1+1,1+1+2,1+3,4$ en heeft dus $4$ partities.

Als $p$ een partitie is van $n$, stel $f(p)$ het aantal 1'en in $p$ en $g(p)$ het aantal verschillende getallen in $p$. Toon aan dat $\sum f(p)=\sum g(p)$, waar de som wordt genomen over alle mogelijke partities van $n$.