USAMO 1982

Vraag 1

Een graaf heeft 1982 toppen. Gegeven vier willekeurige toppen, is er minstens één die verbonden is met de andere drie. Hoeveel toppen moeten er minimaal zijn die met elk van de andere 1981 toppen verbonden zijn?

Vraag 2

Zij $m,n\ge0$ gehele getallen waarvoor voor alle $x,y,z\in\mathbb{R}$ die voldoen aan $x+y+z=0$, geldt dat
$$\frac{x^{m+n}+y^{m+n}+z^{m+n}}{m+n}=\frac{x^m+y^m+ z^m} m\cdot\frac{x^n+y^n+z^n}n.$$
Bewijs dat $\{m,n\}=\{2,3\}$ of $\{2,5\}$.

Vraag 3

Zij $D$ een punt in de gelijkzijdige driehoek $\triangle ABC$. $E$ is een punt binnen $\triangle DBC$. Als $S(x)$ de oppervlakte van $x$ voorstelt en $P(x)$ de omtrek van $x$, toon dan aan dat
$$\frac{S(\triangle DBC)}{P(\triangle DBC)^2}>\frac{S(\triangle EBC)}{P(\triangle EBC)^2}.$$

Vraag 4

Toon aan dat er een geheel getal $k\ge0$ bestaat zodat voor ieder geheel getal $n\ge0$, $k2^n+1$ samengesteld is.

Vraag 5

Zij $O$ is het middelpunt van de sfeer $S$. De punten $A,B,C$ liggen binnen $S$, $OA$ staat loodrecht op $AB$ en $AC$ en er gaan twee sferen door $A,B,C$ die $S$ raken. Toon aan dat de som van hun stralen gelijk is aan de straal van $S$.