USAMO 1980

Vraag 1

Een weegschaal heeft ongelijke armen en schalen van verschillend gewicht. Ze wordt gebruikt om drie voorwerpen te wegen. Een eerste voorwerp weegt precies op tegen een gewicht $A$ wanneer het in de linkerschaal ligt, en tegen een gewicht $a$ in de rechterschaal. Een tweede gewicht op dezelfde manier en respectievelijk tegen een gewicht $B$ en $b$. Het derde voorwerp weegt precies op tegen een gewicht $C$ als het in de linkerschaal ligt. Wat is het ware gewicht van het derde voorwerp, in functie van $A,a,B,b,C$?

Vraag 2

Vind het maximum aantal rekenkundige rijen van lengte drie in een monotone rij van $n$ verschillende reële getallen.

Vraag 3

$A+B+C$ is een geheel veelvoud van $\pi$ en $x,y,z$ zijn reële getallen. Als
$$x\sin A+y\sin B+z\sin C=x^2\sin2A+y^2\sin2B+z^2\sin2C=0,$$
toon dan aan dat
$$x^n\sin nA+y^n\sin nB+z^n\sin nC=0$$
voor elk natuurlijk getal $n$.

Vraag 4

De ingeschreven sfeer van een viervlak raakt ieder zijvlak in zijn zwaartepunt. Toon aan dat het viervlak regelmatig is.

Vraag 5

Als $1\geq x,y,z\geq0$, bewijs dat
$$\frac x{y+z+1}+\frac y{z+x+1}+\frac z{x+y+1}\leq1-(1-x)(1-y)(1-z).$$