USAMO 1977

Vraag 1 Opgelost!

Voor welke natuurlijke getallen $a$ en $b$ geldt dat $x^a+\cdots+x+1|x^{ab}+x^{ab-b}+\cdots+x^{2b}+x^b+1$?

Vraag 2

De driehoeken $ABC$ en $DEF$ hebben $AD,BE,CF$ parallel. Toon aan dat
$$[AEF]+[DBF]+[DEC]+[DBC]+[AEC]+[ABF]=3[ABC]+3[DEF],$$
waarbij $[XYZ]$ de georiënteerde oppervlakte van $\triangle XYZ$ voorstelt, d.w.z. $[XYZ]$ is de oppervlakte van $XYZ$ als $X,Y,Z$ tegenwijzerzin is en de negatieve oppervlakte als $X,Y,Z$ wijzerzin is.

Vraag 3

Toon aan dat het product van de twee reële wortels van $x^4+x^3=1$ een wortel is van $x^6+x^4+x^3-x^2-1=0$.

Vraag 4

$ABCD$ is een viervlak met $M$ het midden van $AB$ en $N$ het midden van $CD$. Toon aan dat $AB\bot CD$ als $AC=BD$ en $AD=BC$.

Vraag 5

Als $k\geq v,w,x,y,z\geq h>0$, toon dan aan dat
$$(v+w+x+y+z)\left(\frac1v+\frac1w+\frac1x+\frac1y+\frac1z \right)\leq25+6\left(\sqrt\frac hk-\sqrt\frac kh\right)^2.$$
Wanneer treedt gelijkheid op?