USAMO 1973

Vraag 1

Als twee punten $A,B$ in een regelmatig viervlak liggen, toon dan aan dat de $\angle ACB$ hoek die deze twee punten maken met een hoekpunt $C$ van het viervlak kleiner is dan $\displaystyle\frac\pi3$.

Vraag 2 Opgelost!

We definiëren $a_n$ door $a_1=a_2=1$ en $a_{n+2}=a_{n+1}+2a_n$, en $b_n$ door $b_1=1,b_2=7$ en $b_{n+2}=2b_{n+1}+3b_n$. Toon aan dat enkel het getal 1 in beide rijen voorkomt.

Vraag 3

Drie hoekpunten van een regelmatige $2n+1$-hoek worden willekeurig gekozen. Vind de kans dat het midden van de veelhoek in de resulterende driehoek ligt.

Vraag 4 Opgelost!

Vind alle complexe getallen die voldoen aan
$$x+y+z=x^2+y^2+z^2=x^3+y^3+z^3=3.$$

Vraag 5 Opgelost!

Toon aan dat de derdemachtswortels van drie verschillende priemgetallen nooit termen kunnen zijn uit een rekenkundige rij (al dan niet opeenvolgend).