rekenkundige priemgetallen

Zij $p > q > r$ drie priemgetallen. Dan zou volgens de vraag moeten gelden dat $\sqrt[3]{p}-\sqrt[3]{q}=ma$ en $\sqrt[3]{q}-\sqrt[3]{r}=na$ met $a$ het verschil van de rekenkundige rij en $m,n$ gehele getallen.

Hieruit volgt dat

$\frac{\sqrt[3]{p}-\sqrt[3]{q}}{m}=a=\frac{\sqrt[3]{q}-\sqrt[3]{r}}{n}$

En dus $n\sqrt[3]{p}+m\sqrt[3]{r}=(m+n)\sqrt[3]{q}$. (1)

$\Leftrightarrow( n\sqrt[3]{p}+m\sqrt[3]{r})^3=((m+n)\sqrt[3]{q})^3$

$\Leftrightarrow n^3p+3mn^2\sqrt[3]{p^2r}+3m^2n\sqrt[3]{pr^2}+m^3r=(m+n)^3q$

Nu is RHS duidelijk geheel, dus moet ook LHS dat zijn en bijgevolg moet

$3mn^2\sqrt[3]{p^2r}+3m^2n\sqrt[3]{pr^2}$ ook geheel zijn

$=3mn\sqrt[3]{pr}(n\sqrt[3]{p}+m\sqrt[3]{r})$

$=^{(1)}3mn\sqrt[3]{pr}(m+n)\sqrt[3]{q}$

$=3mn(m+n)\sqrt[3]{pqr}$

Dit kan echter nooit geheel zijn omdat $p,q,r$ priemgetallen zijn en dus $pqr$ geen volkomen derdemacht kan zijn omdat geen enkele priemfactor meer dan één keer voorkomt. Dus het te bewijzen is bewezen, want het is geweten dat $n^{de}$-machtswortels van niet $n^{de}$machten irrationaal zijn.

$QED$