complexe vergelijking

Merk op dat $3-3xyz = \sum x^3 - 3xyz = (x+y+z)\left(\sum x^2 - \sum xy\right)$. Hierbij is $\sum x^2 - \sum xy = (3\sum x^2 - (\sum x)^2)/2 = 0$, dus is $xyz = 1$. Verder volgt uit die eerste gelijkheid nu dat $0 = (x+y+z)\left(\sum x^2 - \sum xy\right)$, dus $\sum xy = \sum x^2 = 3$. Men gaat nu eenvoudig na dat $(x-1)(y-1)(z-1) = 0$. Eén van de getallen is dus gelijk aan 1.

Stel bijvoorbeeld $x = 1$. Dan is $yz = 1$, dus is $3 = x+y+z = 1+1/z+z$, dus $(z-1)^2 = 0$, en bijgevolg $z = 1$. Omdat $yz = 1$, volgt $(x,y,z) = (1,1,1)$, samen met zijn permutaties :grin: