BrMO 2 2007

Vraag 1 Opgelost!

Driehoek $\triangle ABC$ heeft gehele zijdelengtes en $AC=2007$. Als de interne bisectrice van $\angle BAC$ snijdt met $BC$ in $D$, en als $AB=CD$, bepaal dan $AB$ en $BC$.

Vraag 2

Bewijs dat er oneindig veel koppels gehele getallen $(m,n)$ met $m,n>0$ zijn, waarvoor $$\frac{m+1}{n}+\frac{n+1}{m}\in\mathbb{Z}.$$

Vraag 3

Zij $\triangle ABC$ een scherphoekige driehoke met $AB>AC$ en $\angle BAC=60^\circ$. Zij $O$ het centrum van de omgeschreven cirkel en $H$ het snijpunt van de hoogtelijnen. Als $OH\cap AB=\{P\}$ en $OH\cap AC=\{Q\}$, bewijs dan dat $OP=HQ$.

Vraag 4

In Zesrijk liggen zes steden die twee aan twee verbonden zijn door een spoorlijn. Iedere zondag kunnen sommige lijnen dicht moeten voor werkzaamheden. Als de zes steden op ieder moment met elkaar verbonden moeten blijven (maar niet noodzakelijk direct), op hoeveel manieren kan men dan lijnen sluiten (binnen één zondag, uiteraard)?