driehoek met gehele zijdelengtes
Opgave - BrMO 2 2007 vraag 1
Driehoek $\triangle ABC$ heeft gehele zijdelengtes en $AC=2007$. Als de interne bisectrice van $\angle BAC$ snijdt met $BC$ in $D$, en als $AB=CD$, bepaal dan $AB$ en $BC$.
- login om te reageren
Oplossing
bissectricestelling --> $|AB|^2=2007|BD|=3^2*223|BD|$, dus $|BD|=223k^2$, $|AB|=3*223k$ en $|BC|=3*223k+223k^2$.
Wegens de driehoeksongelijkheid moet
(1) $|BC|=3*223k+223k^2<|AB|+|AC|=3*223k+2007$, dus $223k^2<2007$ en dus $k<3$.
(2) $|AB|=3*223k<|BC|+|AC|=3*223k+223k^2+2007$, dus $0<223k^2+2007$ wat steeds voldaan is.
(3) $|AC|=2007<|BC|+|AB|=3*223k+223k^2+3*223k$, dus $9<6k+k^2$ en dus $k>1$.
--> $k=2$, $|AB|=6*223$ en $|BC|=10*223$.