BrMO 2 2006

Vraag 1

Vind de minimumwaarde van $x^2+y^2$ gegeven dat $x$ en $y$ reële getallen zijn die voldoen aan
$$xy(x^2-y^2)=x^2+y^2$$
en $x\neq0$.

Vraag 2 Opgelost!

Zij $x,y$ twee natuurlijke getallen zonder priemfactoren groter dan 5. Vind alle $x,y$ die voldoen aan
$$x^2-y^2=2^k$$
voor een zeker natuurlijk getal $k$.

Vraag 3

Zij $ABC$ een driehoek met $AC>AB$. Het punt $X$ ligt op de zijde $BA$ verlengd in $A$, en het punt $Y$ ligt op $CA$ zodanig that $BX=CA$ en $CY=BA$. De rechte $XY$ snijdt de middelloodlijn van $BC$ in $P$. Toon aan dat
$$\angle BPC+\angle BAC=180^\circ.$$

Vraag 4

Een examen dat bestaat uit zes vragen werd door 2006 studenten meegemaakt. Iedere vraag werd ofwel juist, ofwel fout verbeterd. Elke drie studenten hebben samen minstens antwoord op vijf van de zes vragen. Zij $N$ de totale som van het aantal correcte antwoorden van iedere student apart, vind de minimumwaarde van $N$.