BrMO 2 2003

Vraag 1

Voor ieder natuurlijk getal $n>1$ noteren we met $p(n)$ de grootste priemfactor van $n$. Bepaal alle drietallen $x,y,z$ van verschillende positieve getallen die voldoen aan
(i) $x,y,z$ vormen een rekenkundige rij, en
(ii) $p(xyz)\leq3$.

Vraag 2

Zij $ABC$ een driehoek en $D$ een punt op $AB$ zodat $4AD=AB$. De halfrechte $l$ wordt getekend aan dezelfde kant ten opzichte van $AB$ als $C$, startend vanaf $D$ en maakt een hoek van $\theta$ met $DA$, waar $\theta=\angle ACB$. Als de omgeschreven cirkel van $ABC$ de halfrechte $l$ snijdt in $P$, toon dan aan dat $PB=2PD$.

Vraag 3

Zij $f\mathbb N\rightarrow\mathbb N$ een permutatie van de verzameling van alle natuurlijke getallen.
(i) Toon aan dat er een rekenkundige rij van natuurlijke getallen $a,a+d,a+2d$ bestaat, met $d>0$, zodat $f(a) (ii) Moet er een rekenkundige rij $a,a+d,$...$,a+2003d$ bestaan, met $d>0$, zodat
$$f(a)

[Een permutatie van $\mathbb N$ is een 1-1-relatie die als beeld opnieuw $\mathbb N$ heeft; met andere woorden, een functie van $\mathbb N$ naat $\mathbb N$ zodat voor alle $m\in\mathbb N$ er een unieke $n\in\mathbb N$ bestaat waarvoor geldt dat $f(n)=m$.]

Vraag 4

Zij $f$ een functie van de verzameling van de natuurlijke getallen op zichzelf, zodat voor alle $n\geq0$ geldt:
(i) $(f(2n+1))^2-(f(2n))^2=6f(n)+1$, en
(ii) $f(2n)\geq f(n)$.
Hoeveel getallen kleiner dan 2003 zijn er beeld van $f$?