BrMO 2 2001

Vraag 1 Opgelost!

Ahmed en Beth hebben respectievelijk $p$ en $q$ knikkers, met $p>q$.
Startend met Ahmed, geeft elk op beurt evenveel knikkers aan de ander als hij of zij al bezit. Na $2n$ zo'n overdragingen zien we dat Ahmed $q$ knikkers heeft, en Beth $p$.
Vind $\frac pq$ in termen van $n$.

Vraag 2 Opgelost!

Vind alle koppels van gehele getallen $(x,y)$ die voldoen aan
$$1+x^2y=x^2+2xy+2x+y.$$

Vraag 3

In driehoek $ABC$ geldt dat $\angle ACB>\angle ABC$.
De inwendige bissectrice van $\angle BAC$ snijdt $BC$ in $D$.
Het punt $E$ op $AB$ is zodanig gekozen dat $\angle EDB=90^\circ$.
Het punt $F$ op $AC$ is zodanig gekozen dat $\angle BED=\angle DEF$.
Toon aan dat $\angle BAD=\angle FDS$.

Vraag 4

$N$ dwergen met hoogte 1,2,3,...,$N$ worden in een cirkel opgesteld. Voor ieder paar naast elkaar staande dwergen wordt het positieve verschil van hun hoogtes berekend. Noem $V$ som van deze $N$ verschillen. Vind (met bewijs) de maximum- en minimumwaarden van $V$.