BrMO 2 1997

Vraag 1

Zijn $M$ en $N$ twee natuurlijke getallen van negen cijfers, met de eigenschap dat als eender welk van de cijfers van $M$ vervangen wordt door het cijfer van $N$ op de corresponderende plaats (bijvoorbeeld, het cijfer van de tientallen van $M$ wordt vervangen door het cijfer van de tientallen van $N$), het bekomen natuurlijk getal een veelvoud is van 7.
Bewijs dat eender welk getal dat we bekomen door een cijfer van $N$ te vervangen door het corresponderende cijfer van $M$ ook een veelvoud van 7 is.
Vind een natuurlijk getal $d>9$ zodat het hierboven vermelde resultaat inzake deelbaarheid door 7 waar blijft wanneer $M$ en $N$ twee $d-$cijferige natuurlijke getallen zijn.

Vraag 2 Opgelost!

In de scherphoekige driehoek $ABC$ is $CF$ een hoogtelijn, met $F$ op $AB$ en $BM$ een zwaartelijn met $M$ op $CA$. Als gegeven is dat $BM=CF$ en $\angle MBC=\angle FCA$, bewijs dan dat de driehoek $ABC$ gelijkzijdig is.

Vraag 3

Vind het aantal veeltermen van graad 5 met verschillende coëfficiënten uit de verzameling $\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ die deelbaar zijn door $x^2-x+1$.

Vraag 4

De verzameling $S=\{1/rr=1,2,3...\}$ van de inverse natuurlijke getallen, bevat rekenkundige deelrijen van verschillende lengtes. Bijvoorbeeld, 1/20, 1/8, 1/5 is zo een deelrij, van lengte 3 (en verschil 3/40). Meer nog, dit is een maximale deelrij in $S$ van lengte 3 aangezien het noch links noch rechts kan verlengd worden binnen $S$ (-1/40 en 11/40 zijn geen elementen van $S$).
(i) Vind een maximale deelrij in $S$ van lengte 1996.
(ii) Bestaat er een maximale deelrij in $S$ van lengte 1997?