BrMO 1 2002

Vraag 1 Opgelost!

Vind alle natuurlijke getallen $m,n$, met $n$ oneven, zodat
$$\frac1m+\frac4n=\frac1{12}.$$

Vraag 2 Opgelost!

De vierhoek $ABCD$ is ingeschreven in een cirkel. De diagonalen $AC$ en $BD$ snijden elkaar in $Q$. De zijden $DA$ (verlengd aan de kant van $A$) en $CB$ (verlengd aan de kant van $B$) snijden elkaar in $P$.
Als gegeven is dat $CD=CP=DQ$, bewijs dan dat $\angle CAD=60^\circ $.

Vraag 3 Opgelost!

Vind alle positieve reële oplossingen van de vergelijking
$$x+\left\lfloor\frac x6\right\rfloor=\left\lfloor\frac x2\right\rfloor+\left\lfloor\frac x3\right\rfloor,$$
waar $\left\lfloor t\right\rfloor$ het grootste natuurlijk getal kleiner dan of gelijk aan $t$ voorstelt.

Vraag 4

Twaalf mensen zitten aan een ronde tafel. Op hoeveel manieren kunnen zes paar mensen elkaars hand schudden zodat er geen armen kruisen? (Niemand mag met meer dan 1 persoon tegelijk handen schudden.)

Vraag 5 Opgelost!

$f$ is een functie van $\mathbb N_0$ naar $\mathbb N_0$, die de volgende eigenschappen heeft:
(a) $f(n+1)>f(n)$ voor alle $n\in\mathbb N_0$,
(b) $f(n+f(m))=f(n)+m+1$ voor alle $m,n\in\mathbb N_0$.
Vind alle mogelijke waarden van $f(2001)$.