Home › Archief › Nationale en Regionale Olympiades › Verenigd Koninkrijk › BrMO 1 › 2002 › vergelijking

vergelijking

Tags:

Opgave - BrMO 1 2002 vraag 3

Vind alle positieve reële oplossingen van de vergelijking

$$x+\left\lfloor\frac x6\right\rfloor=\left\lfloor\frac x2\right\rfloor+\left\lfloor\frac x3\right\rfloor,$$

waar $\left\lfloor t\right\rfloor$ het grootste natuurlijk getal kleiner dan of gelijk aan $t$ voorstelt.

Oplossing

Ingediend door C|Debry

Ik zou toch voorzichtig zijn met de notatie $[x]$; het kan namelijk zowel afronden naar het dichtsbijzijnde getal als naar beneden betekenen, afhankelijk van het boek/bron.

Over de opgave: De rechterkant is hoogstens $\frac{1}{2} x+ \frac{1}{3} x=\frac{5}{6} x \leq x$ (met gelijkheid alleen als $x=0$, want $x\geq 0$) en de linkerkant is minstens $x$, dus de enige positieve $x$ die een oplossing kan zijn is 0. Overigens ga ik er hier van uit dat ``positief'' groter dan of gelijk aan nul betekent, want meestal is voor mij ``postief'' gelijk aan (strict) groter dan nul, in welk geval er geen oplossingen zijn.

PS Hoe zorg ik ervoor dat mijn post in goed Latex verschijnt? \frac is toch een normale code zou ik denken.

Die oplossing is juist voor de opgave die op deze site staat. De opgave is echter onjuist.

Bepaal alle positieve reële getallen $x$ zodanig dat

$$x+\left\lfloor\frac{x}{6}\right\rfloor = \left\lfloor\frac{x}{2}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{2x}{3}\right\rfloor.$$

Oplossing. Uit $x=\left\lfloor\frac{x}{2}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{2x}{3}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{x}{6}\right\rfloor$ volgt er dat $x\in\mathbb{N}$. Stel nu $x=6k+r$ met $0\leq r< 6$, dan kunnen we volgende tabel opstellen:

$$\begin{tabular}{|c|c|c|}\hline r & x+\lfloor\frac{x}{6}\rfloor & \lfloor\frac{x}{2}\rfloor + \lfloor\frac{2x}{3}\rfloor \\ \hline 0 & x+k = 7k & 3k+4k = 7k \\ \hline 1 & x+k = 7k+1 & 3k+4k = 7k \\ \hline 2 & x+k = 7k+2 & (3k+1)+(4k+1) = 7k+2 \\ \hline 3 & x+k = 7k+3 & (3k+1)+(4k+2) = 7k+3 \\ \hline 4 & x+k = 7k+4 & (3k+2)+(4k+2) = 7k+4 \\ \hline 5 & x+k = 7k+5 & (3k+2)+(4k+3) = 7k+5 \\ \hline \end{tabular}$$

Bijgevolg is de oplossingsverzameling

$$\mathcal{S} = \left\{x\in\mathbb{N}\ |\ x\not\equiv 1\mod{6}\right\}$$