koordenvierhoek
Opgave - BrMO 1 2002 vraag 2
De vierhoek $ABCD$ is ingeschreven in een cirkel. De diagonalen $AC$ en $BD$ snijden elkaar in $Q$. De zijden $DA$ (verlengd aan de kant van $A$) en $CB$ (verlengd aan de kant van $B$) snijden elkaar in $P$.
Als gegeven is dat $CD=CP=DQ$, bewijs dan dat $\angle CAD=60^\circ $.
- login om te reageren
Oplossing
$\angle C$ en $\angle D$ zijn de hoeken in $ABCD$ en $\angle Q=\angle DQC$
In driehoek $ADC$ geldt (oa vlgs $DQ=CD$): $\pi-\angle D- \angle Q = \angle CAD$ (1)
In driehoek $BCD$ geldt (oa vlgs $DQ=CD$): $\pi-(\pi-2 \angle Q +\angle C) = \angle CBD$ (2)
en $\angle CBD=\angle CAD$
Omdat $CD=CP$, is $\angle P= \angle D$ en dus is $2 \angle D+ \angle C= \pi$ (3)
(1), (2), (3) zeggen ons tesamen dat $ \angle D + \angle Q = \frac{2\pi}{3}$, wat in $CAD$ oplevert dat $\angle CAD=\frac{\pi}{3}=60°$