NWO 2013

Vraag 1 Opgelost!

Van een tabel bestaande uit $n$ bij $n$ vierkantjes zijn sommige vierkantjes zwart en zijn de overige vierkantjes wit. Voor ieder tweetal kolommen en ieder tweetal rijen geldt dat de vier vierkantjes op de kruisingen van die rijen en kolommen niet allemaal dezelfde kleur hebben.
Wat is de grootst mogelijke waarde van $n$?

Vraag 2

Vind alle drietallen (x, y, z) van reële getallen waarvoor geldt dat
$\begin{cases}x+y-z=-1\\x^2-y^2+z^2=1\\-x^3+y^3+z^3=-1\end{cases}$

Vraag 3

Van een vierhoek $ABCD$ is $BC$ evenwijdig aan $AD$ en is $O$ het
snijpunt van de diagonalen. Voor deze vierhoek geldt |CD| = |AO|
en $|BC| = |OD|$. Verder is CA de bissectrice van hoek $BCD$.
Bepaal $\widehat{ABC}$.

Vraag 4

Voor een positief geheel getal $n$ geven we met $P(n)$ het product van de positieve delers van $n$
aan. Zo is bijvoorbeeld $P(20) = 8000$. De positieve delers van $20$ zijn namelijk $1, 2, 4, 5, 10$ en
$20$, met als product $1 · 2 · 4 · 5 · 10 · 20 = 8000$.

(a) Vind alle positieve gehele getallen $n$ waarvoor geldt dat $P(n) = 15n$.

(b) Laat zien dat er geen positieve gehele getallen n bestaan waarvoor geldt dat $P(n) = 15n^2$.

Vraag 5 Opgelost!

Laat $S=1 + 10 + 19 + 28 + 37 + · · · + 10^{2013}$.
Als het getal $S$ wordt uitgeschreven, hoe vaak komt het cijfer ‘$5$’ dan voor in het resultaat?