NWO 2012

Vraag 1

Gegeven zijn vier verschillende gehele getallen $a, b, c$ en $d$.
Bewijs dat $(a − b)(a − c)(a − d)(b − c)(b − d)(c − d)$ deelbaar is door $12$

Vraag 2

We nummeren de kolommen van een $n\times n$-bord van $1$ tot en met $n$. In elk vakje van het bord zetten we een getal, op zo’n manier dat in elke rij precies de getallen 1 tot en met n staan (de volgorde kan in elke rij anders zijn) en in elke kolom ook precies de getallen 1 tot en met $n$ staan. We kleuren vervolgens een vakje blauw als het getal in dat vakje groter is dan het nummer van de kolom waar het vakje in zit.

(a) Stel dat $n = 5$. Kunnen we de getallen zo neerzetten dat in elke rij precies evenveel vakjes
blauw gekleurd worden?

(b) Stel dat $n = 10$. Kunnen we de getallen zo neerzetten dat in elke rij precies evenveel vakjes
blauw gekleurd worden?

Vraag 3 Opgelost!

Bepaal alle paren $(p, m)$ bestaande uit een priemgetal p en een positief geheel getal m waarvoor
geldt dat
$p^3 + m(p + 2) = m^2 + p + 1.$

Vraag 4 Opgelost!

Gegeven is een scherphoekige driehoek $ABC$ met punten $D$ op $BC$ en $E$ op $AC$ zodanig dat
$AD$ loodrecht staat op $BC$ en $BE$ loodrecht staat op $AC$. Het snijpunt van $AD$ en $BE$ heet $H$.
Een lijn door $H$ snijdt lijnstuk $BC$ in $P$ en snijdt lijnstuk $AC$ in $Q$. Verder is $K$ een punt op
$BE$ zodanig dat $PK$ loodrecht staat op $BE$ en is $L$ een punt op $AD$ zodanig dat $QL$ loodrecht
staat op $AD$.

Bewijs dat $DK$ evenwijdig is aan $EL$.

Vraag 5 Opgelost!

De getallen 1 tot en met 12 worden in een rijtje achter elkaar gezet. Het aantal manieren waarop
dit kan is 12×11×10×· · ·×1. We noemen zo'n rijtje mooi als er precies één getal in staat dat kleiner is dan het getal dat er direct aan voorafgaat.
Hoeveel van de 12×11×10×· · ·×1 rijtjes zijn mooi?