Priemdiophant

Opgave - NWO 2012 vraag 3

Bepaal alle paren $(p, m)$ bestaande uit een priemgetal p en een positief geheel getal m waarvoor
geldt dat
$p^3 + m(p + 2) = m^2 + p + 1.$

Oplossing

De vergelijking is equivalent met $(p-1)p(p+1)=m(m-p-2)+1$.
Wanneer $p$ oneven is, hebben $m$ en $m-p-2$ verschillende pariteit en zo ook $p$ en $p+1$.
Bijgevolg is het linkerlid even en het rechterlid oneven, contradictie.

Bijgevolg is $p=2$, de vergelijking is dan equivalent met
$m^2 - 4m - 5 = 0$ of $(m-5)\cdot(m+1) = 0$, zodat $m = 5$.
Bijgevolg is $(2,5)$ de enige oplossing.