evenwijdig
Opgave - NWO 2012 vraag 4
Gegeven is een scherphoekige driehoek $ABC$ met punten $D$ op $BC$ en $E$ op $AC$ zodanig dat
$AD$ loodrecht staat op $BC$ en $BE$ loodrecht staat op $AC$. Het snijpunt van $AD$ en $BE$ heet $H$.
Een lijn door $H$ snijdt lijnstuk $BC$ in $P$ en snijdt lijnstuk $AC$ in $Q$. Verder is $K$ een punt op
$BE$ zodanig dat $PK$ loodrecht staat op $BE$ en is $L$ een punt op $AD$ zodanig dat $QL$ loodrecht
staat op $AD$.
Bewijs dat $DK$ evenwijdig is aan $EL$.
- login om te reageren
Oplossing
Een tekening laat ons snel zien dat $\Delta$PKH $\sim$ $\Delta$QEH. De hoeken bij H zijn bij beide driehoeken gelijk doordat het overstaande hoeken zijn en daarnaast zijn het rechthoekige driehoeken waardoor we met HH tot de conclusie kunnen komen dat ze minstens gelijkvormig zijn. Op dezelfde manier kunnen we aantonen $\Delta$PDH $\sim$ $\Delta$QLH. Hier zijn de hoeken bij H weer gelijk bij beide driehoeken doordat het overstaande hoeken en we hebben hier weeral met 2 rechthoekige driehoeken te maken waardoor we met HH weer tot de conclusie kunnen komen dat ze minstens gelijkvormig zijn. We gaan nu aantonen dat $\Delta$DKH $\sim$ $\Delta$ELH. We hebben eerder aangetoond dat $\Delta$PDH $\sim$ $\Delta$QLH en dat $\Delta$PKH $\sim$ $\Delta$QEH. Uit de eerste gelijkvormigheid volgt dat $\frac{|DH|}{|LH|} $= $\frac{|HP|}{|HQ|} $en uit de tweede gelijkvormigheid volgt dat $\frac{|HK|}{|EH|}$= $\frac{|HP|}{|HQ|}$. Uit de 2 gelijkheden volgt dat $\frac{|DH|}{|LH|}$=$\frac{|HK|}{|EH|}$ en aangezien de hoek H bij beide driehoeken gelijk is, volgt het met ZHZ dat DKH $\sim$ ELH en dus dat $\hat {D}$ =$\hat {L}$ , wat betekent dat DK en EL evenwijdig.