APMC 1986

Dag 1

Vraag 1

$ABC$ is een niet-rechthoekige driehoek. $A'$ is het midden van een cirkel door $B$ en $C$. Analoog is $B'$ het midden van een cirkel door $C$ en $A$ en $C'$ het midden van een cirkel door $A$ en $B$. Als alle cirkels raken en $ABC$ is gelijkvormig met $A'B'C'$, wat zijn dan de hoeken van $ABC$?

Vraag 2 Opgelost!

De monische veelterm is $p(x)$ heeft graad $n>2$ en al zijn wortels zijn verschillende negatieve reële getallen. De coëfficiënt van $x$ is $A$ en de constante heet $B$. Toon aan dat $Ap(1)>2n^2B$ (een monische veelterm is een veelterm met als coëfficënt van de term met de hoogste graad 1 is.

Vraag 3

Ieder punt in de ruimte is blauw of rood gekleurd. Toon aan dat we ofwel een eenheidsvierkant kunnen vinden met rode hoekpunten, ofwel met blauwe hoekpunten, ofwel met precies één blauw hoekpunt.

Dag 2

Vraag 1

Vind alle natuurlijke drietallen $(a,b,c)$ zodat $a^c-b^c=2^{100}$.

Vraag 2 Opgelost!

Vind alle reële oplossingen voor
$$\begin{cases}x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=4, \\x_1x_3+x_2x_4+x_3x_2+x_4x_1=0, \\x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4=-2, \\x_1x_2x_3x_4=-1.\end{cases}$$

Vraag 3

De ingeschreven en omgeschreven sferen van een viervlak hebben stralen $r$ en $R$ respectievelijk en zijn concentrisch. Vind de mogelijke waarden voor de verhouding $R/r$.

Dag 3

Vraag 1

$\displaystyle{k<\frac{n^2}4}$ is een natuurlijk getal met geen priemdeler groter dan $n$. Toon aan dat $k|n!$.

Vraag 2 Opgelost!

$mn$ verschillende reële getallen worden zodanig geschikt in een $m\times n-$matrix zodat alle elementen in iedere rij toenemen van links naar rechts. Iedere kolom wordt dan herschikt zodat de elementen in iedere kolom van boven naar onder toenemen. Toon aan dat de elementen in iedere rij nog altijd toenemen van links naar rechts.

Vraag 3

Vind alle continuë functies $f\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ zodat $f(1)=1$, $f(f(x))=f^2(x)$ voor alle $x\in\mathbb R$ en ofwel $f(x)\geq f(y)$ voor alle $x\geq y$ of $f(x)\leq f(y)$ voor alle $x\leq y$.