stelsel

De tweede vergelijking zegt $(x_1+x_2)(x_3+x_4)=0$, zodat zonder verlies van algemeenheid $x_1=-x_2$. De andere vergelijkingen worden dan $x_3^2+x_4^2=4-2x_1^2$, $x_1^2(x_3+x_4)=-2$ en $x_1^2x_3x_4=-1$, hieruit $(x_3+x_4)^2$ vormen en elimineren geeft dat $4-2x_1^2+\tfrac{2}{x_1^2}=\tfrac{4}{x_1^4}$, zodat $(x_1^2-2)(x_1^2-1)(x_1^2+1)=0$.

Als $x_1=\pm\sqrt{2}$, dan geeft AM-GM dat $1=x_3+x_4\ge2\sqrt{x_3x_4}=2\sqrt{\tfrac12}=\frac{1}{\sqrt{2}}$, strijdigheid. Als $x_1=\pm1$, dan komt er gelijkheid in AM-GM, zodat $x_3=x_4=1$.

Zodoende zijn er $4$ oplossingen: $(x_1,x_2,x_3,x_4)=(-1,1,1,1)$ en de permutaties hiervan.