CanMO 1999

Vraag 1

Vind alle reële oplossingen van de vergelijking $4x^2-40\lfloor x\rfloor+51=0$.

Vraag 2

Zij $ABC$ een gelijkzijdige driehoek met hoogte 1. Een cirkel met straal 1 en middelpunt aan dezelfde kant van $AB$ als $C$ rolt langs het lijnstuk $AB$. Bewijs dat de boog van de cirkel die langs de binnenkant van de driehoek ligt altijd dezelfde lengte heeft.

Vraag 3

Zij $d(n)$ het aantal positieve delers van $n$. Bepaal alle natuurlijke getallen $n$ zodat $n=(d(n))^2$.

Vraag 4

Veronderstel dat $a_1,a_2,...,a_8$ acht verschillende getallen zijn uit $\{1,2,3,...,16,17\}$. Toon aan dat er een natuurlijk getal $k$ bestaat verschillend van 0, zodat de vergelijking $a_i-a_j=k$ op zijn minst drie verschillende oplossingen heeft. Vind ook een specifieke verzameling van zeven verschillende elementen waarvoor dit niet waar is.

Vraag 5

Zij $x,y,z$ drie positieve reële getallen met $x+y+z=1$. Toon aan dat
$$x^2y+y^2z+z^2x\leq\frac4{27}$$
en bepaal ook wanneer er gelijkheid optreedt.