CanMO 1997

Vraag 1

Hoeveel koppels natuurlijke getallen $x,y$ bestaan er, met $x\leq y$ zodat ggd$(x,y)=5!$ en kgv$(x,y)=50!$?

Vraag 2

Het gesloten interval $A=[0,50]$ is de unie van een eindig aantal gesloten intervallen, elk van lengte 1. Bewijs dat, ongeacht welke intervallen men precies gebruikt, enkele van deze intervallen verwijderd kunnen worden zodat de overblijvende onderling verschillend zijn en een totale lengte hebben $\geq25$.

Vraag 3 Opgelost!

Bewijs dat
$$\frac1{1999}<\frac12\cdot\frac34\cdot\frac56\cdots\frac{1997}{1998} <\frac1{44}.$$

Vraag 4 Opgelost!

Het punt $O$ ligt in de parallellogram $ABCD$ zodat
$$\angle AOB+\angle COD=180^\circ.$$
Bewijs dat $\angle OBC=\angle ODC$.

Vraag 5

Schrijf de som
$$\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k\binom nk}{k^3+9k^2+26k+24}$$
in de vorm $\frac{p(n)}{q(n)}$, waar $p$ en $q$ veeltermen zijn met gehele coëfficiënten.