ongelijkheid

Noem $A$ de uitdrukking $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot ... \cdot \frac{1997}{1998}$.
Noem $B$ de uitdrukking $\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot ... \cdot \frac{1998}{1999}$
Merk op dat $A \cdot B = \frac{1}{1999}$, verder geldt dat $A< B$ aangezien $\frac{1}{2} < \frac{2}{3}, \frac{3}{4} < \frac{4}{5}, \frac{5}{6} < \frac{6}{7}, ... , \frac{a}{a+2} < \frac{a+1}{a+3}, ... , \frac{1997}{1998} < \frac{1998}{1999}$.
Duidelijk is nu dat $A> \frac{1}{1999}$ want als $A\leq \frac{1}{1999}$, dan zou
\[A\cdot B < \frac{1}{1999} \cdot B\]
en aangezien $B<1$ duidelijk, is $A> \frac{1}{1999}$
verder geldt dat $A\cdot B \cdot \frac{A}{B} = A^2 < \frac{1}{1936}$ aangezien
$\frac{A}{B} < 1 < \frac{1999}{1936}$ duidelijk, dus hebben we
\[A^2 = A\cdot B \cdot \frac{A}{B} < \frac{1}{1999} \cdot \frac{1999}{1936} = \frac{1}{1936}\]
dus is
\[A^2 < \frac{1}{1936} \iff A < \frac{1}{44}\]
en $A > 0$ duidelijk.