CanMO 1993

Vraag 1

Bepaal een driehoek waarvoor de lengte van de drie zijden en de hoogte 4 opeenvolgende natuurlijke getallen vormen en voor dewelke deze hoogte de driehoek verdeelt in 2 rechthoekige driehoeken met natuurlijke getallen als zijdes. Toon aan dat er slechts 1 zo'n driehoek bestaat.

Vraag 2

Toon aan dat het getal $x$ rationaal is als en slechts als er drie verschillende termen die een meetkundige rij vormen kunnen gekozen worden uit de rij
$$x,x+1,x+2,...$$

Vraag 3

In driehoek $ABC$ zijn de zwaartelijnen op de zijden $AB$ en $AC$ loodrecht. Bewijs dat $\cot B+\cot C\geq\frac23$.

Vraag 4

Een aantal scholen deden mee in een tennistornooi. Geen twee spelers van dezelfde school speelden tegen elkaar. Iedere twee spelers van verschillende scholen hebben exact één match tegen elkaar gespeeld. Een match tussen twee jongens of twee meisjes wordt een single genoemd en tussen een jongen en een meisje een mixed single. Het totaal aantal meisjes en het totaal aantal jongens verschilde maximum 1. Het totaal aantal singles verschilde maximum 1 van het totaal aantal mixed singles. Hoeveel scholen werden maximum vertegenwoordigd door een oneven aantal spelers?

Vraag 5

Zij $y_1,y_2,y_3,...$ een rij zodat $y_1=1$ en, voor alle $k>0$, gedefinieerd wordt door
$$y_{2k}=\left\{
\begin{array}{ll}
2y_k\text{ als }k\text{ even is}\\
2y_k+1\text{ als }k\text{ oneven is}\\
\end{array}\right$$
$$y_{2k+1}=\left\{
\begin{array}{ll}
2y_k\text{ als }k\text{ oneven is}\\
2y_k+1\text{ als }k\text{ even is}\\
\end{array}\right$$
Toon aan dat de rij $y_1,y_2,y_3,...$ elk natuurlijk getal exact één maal aanneemt.