CanMO 1991

Vraag 1 Opgelost!

Toon aan dat de vergelijking $x^2+y^5=z^3$ oneindig veel oplossing heeft over de gehele getallen $x,y,z$ waarvoor $xyz\neq0$.

Vraag 2

Zij $n$ een vast natuurlijk getal. Vind de som van alle natuurlijke getallen met de eigenschap dat ze in basis 2 precies $2n$ cijfers telt die bestaan uit $n$ 1's en $n$ 0'en. (Het eerste cijfer kan geen 0 zijn.)

Vraag 3 Opgelost!

Zij $C$ een cirkel en $P$ een gegeven punt in het vlak. Iedere rechte door $P$ die $C$ snijdt bepaalt een koorde van $C$. Toon aan dat de middens van deze koorden allemaal op een cirkel liggen.

Vraag 4

De getallen van 1 tot en met 14 moeten in onderstaand diagram worden ingevuld zodanig dat de absolute waarde van de verschillen van twee getallen verbonden door een lijnstuk verschilt van alle andere waarden van de lijnstukken. Is dit mogelijk of niet? Verklaar je antwoord.

Vraag 5

In de figuur is de oppervlakte van de grote gelijkzijdige driehoek 3 en $f(3)$, het aantal parallellogrammen begrensd door de zijden van het raster, is 15. Vind een formule voor $f(n)$ die uitdrukt hoeveel zo'n parallellogrammen er zijn in dergelijke driehoek met oppervlakte $n$.