koorden

Construeer de raaklijnen van $C$ door $P$. Noem de raakpunten $A$ en $B$.
$A$ en $B$ tellen in eerste instantie al mee als twee middens van de raaklijnen, want de koorde is gewoon een punt. Een ander punt dat ook het midden is van een koorde, is het middelpunt van $C$. Als je $P$ met $M$, het midden van $C$, verbindt, en je noemt de snijpunten $D$ en $E$, dan is $|DM| = |EM|$ = straal $C$. Bijgevolg is $M$ het midden van de koorde. We moeten nu bewijzen, dat als we een cirkel construeren die door $A$, $B$ en $M$ gaat, dat de cirkel is met alle middens van deze cirkel. Ook weten we dat hoek $PAM = 90°$, bijgevolg is het punt $A$ een punt op de cirkel met $PM$ als diameter, idem voor het punt B. Bijgevolg liggen de punten $P, A,B$ en $M$ allemaal op die ene cirkel.

Noem $G$ en $H$ de snijpunten van $P$ met de cirkel $C$. $G,H,P$ liggen op eenzelfde rechte.
Eerst en vooral geldt dat $|GM| = |HM|$. Noem $Z$ het midden van $[GH]$. De middelloodlijn van $[GH]$ gaat altijd door het midden van de cirkel als $[GH]$ een koorde op die cirkel is. Bijgevolg is de hoek $MZG = 90°$. Aangezien $G,Z,H$ en $P$ op eenzelfde rechte liggen, geldt ook dat hoek $MZP$ = 90°. Bijgevolg geldt dat punt $Z$ op de cirkel ligt met diameter $MP$.

Ik beschouwde tot dusver enkel de situatie waarvoor $P$ niet in cirkel $C$ ligt; Als $P$ in $C$ ligt, klopt het nog steeds:

Noem $M$ het midden van $C$. Als $P$ in $C$ ligt is duidelijk dat zowel $P$ en $M$ op de cirkel moeten liggen. Je kan namelijk punten $A$ en $B$ construeren waarvoor $\angle APM = \angle BPM = 90°$ en aangezien $|AM| = |BM|$ is $P$ het midden van de koorde $AB$. Als je nu de koorde $AB$ bestudeert met $A,P,M,B$ collineair, dan is duidelijk dat $M$ ook het midden van die koorde is.

We bewijzen dat $X$ de cirkel is waarop alle middens liggen, met $|MP|$ als diameter.
Neem nu een willekeurig punt $L$ met $L$ het midden van een koorde door $P$. Merk op dat de hoek tussen het midden van de koorde met het midden van de cirkel en de koorde 90° is, hierdoor geldt dat $\angle PLM=90°$ , wat impliceert dat het op de cirkel ligt (want zij $O$ het midden van $X$, dan is $\angle POX = 2 \cdot \angle PLX \iff L \in X$, en aangezien $P,O,X$ collineair zijn en dus $\angle POX = 180° = 2 \cdot \angle PLX = 90°$, ligt $L$ op de cirkel). Q.E.D.