CanMO 1990

Vraag 1 Opgelost!

Een wedstrijd van $n$ (minimum 2) spelers werd gehouden over $k$ dagen. Op iedere dag ontvingen de spelers scores van $1,2,3,...,n$ punten en geen twee spelers kregen dezelfde score. Op het einde van de $k$ dagen had iedere speler exact 26 punten. Bepaal alle koppels $(n,k)$ waarvoor dit mogelijk is.

Vraag 2

Een verzameling van $\frac12n(n+1)$ verschillende getallen wordt willekeurig geschikt in een driehoek zoals op volgende figuur:
$$x$$
$$x\ \ \ \ x$$
$$x\ \ \ \ x\ \ \ \ x$$
$$\vdots\ \ \ \ \vdots\ \ \ \ \vdots$$
$$x\ \ x\ \ \cdot\ \ \ \ \cdot\ \ \ \ \cdot\ \ x \ \ x$$
Zij $M_k$ het grootste getal in de $k$de rij startend bij de top.
Vind de kans dat
$$M_1 \le M_2 \le M_3 \le \cdots \le M_n.$$

Equivalente formulering.

Zij $(a_i)_{1\le i \le \frac{n(n+1)}{2}}$ een willekeurige permutatie van $\frac{n(n+1)}{2}$ verschillende getallen.

Wat is de kans dat
$$a_1 \le \max\{a_2,a_3\} \le \max\{a_4,a_5, a_6\} \le
\ldots \le \max\{ a_{\frac{n(n-1)}{2}+1}, \ldots, a_{\frac{n(n+1)}{2}}\}?$$

Vraag 3

Zij $ABCD$ een convexe vierhoek ingeschreven in een cirkel, en zij $X$ het snijpunt van de diagonalen $AC$ en $BD$. De loodrechten uit $X$ op $AB, BC, CD, DA$ snijden deze zijden in $A',B',C',D'$ respectievelijk. Bewijs dat
$$|A'B'|+|C'D'|=|A'D'|+|B'C'|.$$

Vraag 4

Een deeltje kan reizen aan een snelheid van 2 meter per seconde langs de $x-$as, en aan een snelheid van 1 meter per seconde langs de $y-$as. Geef een schets met aanduidingen van het gebied dat een deeltje kan bereiken binnen een seconde als het start in de oorsprong.

Vraag 5

Veronderstel dat een functie $f$ gedefinieerd over de natuurlijke getallen voldoet aan
$$f(1)=1,\ f(2)=2,$$
$$f(n+2)=f(n+2-f(n+1))+f(n+1-f(n))\ \ (n\geq1).$$
(a) Toon aan dat:
(i) $0\leq f(n+1)-f(n)\leq1$
(ii) Als $f(n)$ oneven is, dan $f(n+1)=f(n)+1$.
(b) Bepaal, met uitleg, alle waarden $n$ waarvoor
$$f(n)=2^{10}+1.$$