wedstrijd
Opgave - CanMO 1990 vraag 1
Een wedstrijd van $n$ (minimum 2) spelers werd gehouden over $k$ dagen. Op iedere dag ontvingen de spelers scores van $1,2,3,...,n$ punten en geen twee spelers kregen dezelfde score. Op het einde van de $k$ dagen had iedere speler exact 26 punten. Bepaal alle koppels $(n,k)$ waarvoor dit mogelijk is.
- login om te reageren
Oplossing
Totaal aantal uitgedeelde punten punten = $\frac{k*n(n+1)}{2} = 26n$
Hieruit volgt: $k(n+1) = 52 = 2*2*13$
Waardoor $k$ en $n+1$ enkel deze waarden kunnen aannemen: $1,2,4,13,26,52$
Echter moeten zowel $n$ als $k$ kleiner of gelijk zijn dan 26, dus $52$ is onmogelijk, waardoor ook $1$ niet langer een waarde kan zijn. Uit gegeven geldt ook dat $n+1>2$, waardoor ook $2$ afvalt voor $n+1$ en bijgevolg ook $26$ voor $k$.
De mogelijke waarden voor $k$ worden dus $2,4,13$, terwijl $n$ $3,12,25$ kan zijn.
Alle mogelijke paren $(k,n)$ zijn dus $(2,25)$, $(4,12)$ en $(13,3)$