VWO 2021

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

Jantje zag eens pruimen hangen, als eieren zo groot en genummerd volgens de natuurlijke
getallen. Hij plukt als eerste de pruim met getal 2. Daarna plukt Jantje telkens de pruim
met het kleinste getal n dat aan de volgende twee voorwaarden voldoet:
• n is groter dan alle getallen op de reeds geplukte pruimen;
• n is niet het product van twee al dan niet gelijke getallen op reeds geplukte pruimen.
De getallen op de geplukte pruimen noemen we pruimgetallen. Is 100 000 een pruimgetal?
Toon je antwoord aan.

Vraag 2

Catherine laat vijf congruente houten schijven zakken over staven die op de hoekpunten
van een regelmatige vijfhoek staan. Daarna laat ze vijf kleinere congruente schijven over
deze staven zakken. Vervolgens spant ze een lint rond de grote schijven en een tweede
lint rond de kleine schijven. Het eerste lint heeft een lengte van 56 centimeter en het
tweede een van 50 centimeter. Catherine kijkt van bovenaf naar haar constructie en ziet
een gebied afgebakend door de twee linten. Wat is de oppervlakte van dat gebied?

Vraag 3 Opgelost!

In een doos bevinden zich 19 ballen, genummerd van 1 tot en met 19. Wanneer we uit
die doos zonder kijken vijf verschillende ballen halen, welk getal heeft dan de grootste
kans om het verschil te zijn tussen het hoogste en het laagste getrokken getal? Toon je
antwoord aan.

Vraag 4 Opgelost!

(a)
Bewijs dat voor elke $x \in \mathbb R$ geldt dat
\[ -1\le \frac{x}{x^2+x+1} \le \frac 13 \]

(b)

Bepaal alle functies $ f \colon \mathbb R \to \mathbb R$ waarvoor voor elke $x \in \mathbb R$ geldt dat
\[ f \left( \frac{x}{x^2+x+1} \right) = \frac{x^2}{x^4+x^2+1}\]