ongelijkheid en functievergelijking in 1

A) $x^2+x+1$ is altijd groter dan 0 (geen nulwaarde want $D=1-4<0$, dus coëfficiënt voor x² bepaalt of het een berg-of dalparabool is, in dit geval dus dal en dus altijd positief).
Dat betekent dat $-1<\frac{x}{x^2+x+1}$ equivalent is met
$-x^2-x-1 < x$
$-x^2-2x-1 < 0$
$x^2+2x+1 > 0$
$(x+1)^2 > 0$

Analoog is de andere ongelijkheid equivalent met
$3x \leq x^2+x+1$
$x^2-2x+1 \geq 0$
$(x-1)^2 \geq 0$ klopt.

Vraag B:
Zij $a = \frac{x}{x^2+x+1}$.
Dan merken we op dat
$ax²+ax+a = x$
$ax²+a = x-ax$
$a^2x^4 + 2a^2x^2 + a^2 = x^2(1-2a+a^2)$
$a^2x^4 + a^2x^2 + (2a-1)x^2 + a^2 = 0$

$\frac{a^2x^4}{(1-2a)} + \frac{a^2x^2}{(1-2a)} - x^2 + \frac{a^2}{(1-2a)} = 0$
$\frac{a^2x^4}{(1-2a)} + \frac{a^2x^2}{(1-2a)} + \frac{a^2}{(1-2a)} = x^2$
$\frac{a^2}{1-2a} * (x^4 + x^2 + 1) = x^2$
$\frac{a^2}{1-2a} = \frac{x^2}{x^4 + x^2 + 1}$

Nu geldt wegens deel A dat $-1 \le a \le \frac 13.$

We concluderen dat
$f(a)=\frac{a^2}{1-2a}$ wanneer $-1 \le a \le \frac 13$ en wanneer $a<-1$ of $a> \frac 13$ kan $f(a)$ willekeurig zijn.

Voor deel $b$ nog een ietwat snellere oplossing:
Noem $\frac{x}{x^2+x+1} = a$, dan is $x+\frac{1}{x} + 1 = \frac{1}{a}$
en dus $x^2+ 2 + \frac{1}{x^2} = \frac{1}{a^2} - \frac{2}{a} + 1$
en dus $\frac{x^4+x^2+1}{x^2} = \frac{1-2a}{a^2}$ of dus
$\frac{x^2}{x^4+x^2+1} = \frac{a^2}{1-2a}$
en is $f(x) = \frac{x^2}{1-2x}$ voor alle $-1 \le x \le \frac{1}{3}$