VWO 2006

Vraag 1 Opgelost!

(a) Los op voor $\theta\in\mathbb{R} \cos(4\theta) = \cos(3\theta)$.

(b) Zij $\cos\left(\frac{2\pi}{7}\right), \cos\left(\frac{4\pi}{7}\right), \cos\left(\frac{6\pi}{7}\right)$ de nulpunten van een derdegraadsveelterm $ax^3+bx^2+cx+d = 0$, met $a, b, c, d\in\mathbb{Z}$. Vind $a,b,c,d$.

Vraag 2 Opgelost!

Gegeven een gelijkzijdige driehoek $ABC$ en punt $P$ op zijde $AB$. De loodlijn in $P$ op $AB$ snijdt de rechte $BC$ in een punt $Q$. De loodlijn in $Q$ op $BC$ snijdt de rechte $AC$ in een punt $R$. De loodlijn in $R$ op $AC$ snijdt de rechte $AB$ in een punt $S$.
Analoog laten we de loodlijn uit $P$ neer op $BC$, met voetpunt $Q'$. Daarna laten we de loodlijn uit $Q'$ neer op $AC$, met voetpunt $R'$ en tenslotte laten we de loodlijn uit $R'$ neer op $AB$ met voetpunt $S'$.
Als $S=S'$, bepaal dan de verhouding $\frac{PB}{AB}$.

Vraag 3 Opgelost!

Aan een grote ronde tafel zitten 60 sprookjesfiguren: elfjes en trollen. De trollen in dit gezelschap liegen altijd, de elfjes spreken altijd de waarheid, tenzij ze zich vergissen. Iedereen beweert tussen een elfje en een trol te zitten, maar twee elfjes vergissen zich. Hoeveel trollen zitten er aan deze tafel?

Vraag 4 Opgelost!

Vind alle functies $f \mathbb{R}\backslash\{0,1\} \rightarrow \mathbb{R}$ waarvoor $$f(x)+f\left(\frac{1}{1-x}\right) = 1+\frac{1}{x(1-x)}.$$