trigonometrie
Opgave - VWO 2006 vraag 1
(a) Los op voor $\theta\in\mathbb{R} \cos(4\theta) = \cos(3\theta)$.
(b) Zij $\cos\left(\frac{2\pi}{7}\right), \cos\left(\frac{4\pi}{7}\right), \cos\left(\frac{6\pi}{7}\right)$ de nulpunten van een derdegraadsveelterm $ax^3+bx^2+cx+d = 0$, met $a, b, c, d\in\mathbb{Z}$. Vind $a,b,c,d$.
- login om te reageren
Oplossing
(a) $\cos(x)=\cos(y)\Leftrightarrow x=y$ of $x=2\pi-y$ dus zijn het de oplossingen van het stelsel $7\theta=2k\pi$ wat o.a. $0, \frac{2\pi}{7}, \frac{4\pi}{7}$ en $\frac{6\pi}{7}$ geeft.
(b) Goniometrisch gepruts: $\cos(4\theta)=2\cos^2(2\theta)-1=8\cos^4(\theta)-8\cos^2(\theta)+1$
$\cos(3\theta)=\cos(\theta)\cos(2\theta)-\sin(\theta)\sin(2\theta)$
$=2\cos^3(\theta)-\cos(\theta)-2\sin^2(\theta)\cos(\theta)=4\cos(\theta)^3-3\cos(\theta)$
Gegeven waarden zijn dus oplossing van de vergelijking $8x^4-4x^3-8x^2+3x+1=0$, en 1 ook, dus kunnen we $(x-1)$ afzonderen zodat via Horner de derdegraadsveelterm $8x^3+4x^2-4x-1$ verschijnt.